Quanti sono ?

Il ripescaggio come stima di una popolazione.

Quanti uccelli ci sono in un bosco ?

Quanti pesci ci sono in un lago ?

Quante formiche in un formicaio ?

Quanti chicchi di riso ci sono in un chilo ?

Queste sono tutte domande dello stesso genere: chiedono di quantificare qualcosa che è difficile da misurare, per non dire impossibile.

Una tecnica abbastanza semplice e veloce che si può usare é quella der “ripescaggio“. Vediamo ora di descriverla.

Immaginiamo ora di voler contare quanti uccelli vivono in un bosco; il motiivo per cui facciamo questo è valutare le condizioni di salute del bosco stesso. Come possiamo fare ? Andare in giro per il bosco e contare tutti gli uccelli che vediamo non è un metodo che ci garantisca né di avere un conteggio proporzionale alla reale popolazione né di evitare di contare due volte lo stesso uccellino o di commettere altri errori sistematici.

Allora, come possiamo fare ?

Possiamo tendere una rete fra alcuni alberi, e catturare una certa quatità di uccellini. Ma così facendo non possiamo dire assolutamente nulla su tutta la popolazione del bosco, perché quello che abbiamo fatto è come mettere ad occhi chiusi una mano dentro un sacco di riso e prenderne una manciata: questa azione non ci dice in alcun modo quanto pesi il sacco né quanto sia grande. Bisogna studiare qualcosa di semplice e che, sebbene non sia assolutamente preciso, non sia così impreciso da essere inutilizzabile.

La prima cosa che si può pensare di fare è quello di inanellare gli uccellini, e poi rimettere il libertà gli uccellini appena catturati.

L’inanellamento è una tecnica che consiste nel mettere uno o più anellini di piombo o duralluminio colorato ad una zampetta. Su tali anellini sono incisi dei codici che consentono di risalire a dove e quando l’uccellino è stato inanellato. È una tecnica assolutamente incruenta.

Ok, ed ora ? Avremo una certa quantità di uccellini marcati che scorrazzano senza traumi per il bosco. Ma questo che vantaggio ci da ? Ci da il vantaggio che gli uccellini si stanno mescolando con tutti gli altri. Dopo un po’ di tempo avremo che gli uccellini inanellati saranno omogeneamente mescolati con gli altri.

Bene! E cosa si fa ora ?

Ripetiamo una seconda cattura con le reti esattamente come avevamo fatto la prima volta.

E questa volta avremo tutto il necessario per sapere quanti uccellini ci sono nel bosco: sarà sufficiente contare gli uccellini catturati, e distinguere quanti hanno l’anello e quanti no.

Immaginiamo che tutti gli uccellini catturati siano marcati, cosa significa ? Significa che la volta precedente avevamo catturato ed inanellato tutti gli uccellini del bosco.

Ma se immaginiamo che solo metà degli uccellini catturati questa volta sia inanellato, cosa vuol dire ? Significa che la volta prima abbiamo catturato la metà degli uccellini presenti nel bosco.

E così via, man mano che la quantità di  uccellini inanellati ( cioè catturati la prima volta ) diminuisce all’interno della seconda cattura. Questo implica che più si riduce la quantità di uccellini “ripescati” più è grande la quantità di uccellini presenti nel bosco.

Questo è quello che possiamo dire a livello intuitivo, ora vediamo di formalizzare un po’ meglio tutto questo.

In altri termini quello che abbiamo appena visto è il problema di misurare la diluizione di un “marcatore” (ovvero una sostanza riconoscibile) dentro una “sostanza” la cui quantità è ignota.

Tornando al nostro esempio se nel bosco ci sono N uccellini e noi ne abbiamo catturati e marcati M avremo che la frazione del totale degli animali marcati sarà:

\frac{M}{N}

a parte il fatto che non conosciamo N, questa frazione è niente di trascendentale, vero ?

Ora, poiché avevamo aspettato un po’ di tempo per fare in modo che gli uccellini marcati si amalgamassero omogeneamente al resto, possiamo immaginare che gli uccellini che cattureremo siano rappresentativi a meno di errori trascurabili di tutti quanti quelli presenti nel bosco. Quando faremo la seconda cattura avremo che se C è il totale degli uccellini  presi la seconda volta ed R sono quelli marcati avremo :

\frac{R}{C}

e fin qui nessun problema.

Ora, come avrebbe detto la maestra che avevo alle elementari: “avremo che il numero degli uccellini della seconda cattura che hanno un anello sta al numero totale di quelli presi come il numero degli uccellini presi la prima volta sta al loro totale“, più sinteticamente avremo:

\frac{M}{N} = \frac{R}{C}

che in pratica è come scrivere

N = M \frac{C}{R}

Però c’é un problema: qui abbiamo usato il simbolo di uguaglianza, ma non è troppo corretto: abbiamo supposto di catturare la frazione esatta della popolazione. Ma se ripetiamo le misure sulla seconda cattura rimettendo ogni volta in libertà gli uccellini dopo il conteggio, vedremo che i valori cambiano di volta in volta. Quello che noi otteniamo non è il valore esatto ma è una stima del numero totale. Nella formuletta che abbiamo scrivere dovremmo sostituire “=” (è uguale a) con “≈” ( è quasi uguale a ).

N \simeq M \frac{C}{R}

Senza stare troppo a complicarsi la vita una formula che stima molto bene la popolazione di cui ci interessa conoscere la grandezza è la seguente.

M = \frac{(M+1)(C+1)}{(R+1)} - 1

È una formula un po’ più complicata, è vero, ma si vede che ripetendo più volte la “seconda” cattura, i valori forniti da questa formula sono molto più vicini fra loro di quelli forniti dalla proporzione che ci avrebbe fatto usare la maestra. 😀

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