Scaliscendi

La fisica quantistica non è solo nelle particelle subatomiche

Vorrei fare qui una riflessione su un piccolo episodio che mi è accaduto qualche tempo fa, in occasione di una visita alla University of Sussex, nel Campus di Falmer, poco distante dalla città di Brighton in Inghilterra.

Con mia moglie che lavora lì ero di ritorno dalla mensa, situata al secondo piano di un edificio le cui rampe di scale hanno tutte una ringhiera divisoria che le separa in due metà, un po’ come due corsie separate da uno spartitraffico.
Trovandomi in Inghilterra, ma essendoci anche molti stranieri, non so mai da quale parte salire (o scendere). Regola qui vorrebbe che tu tenga la sinistra sia a salire sia a scendere, ma ci sono almeno due fattori che influenzano il flusso in altro modo:

1. Il fatto che per uno straniero (es. italiano, francese, cinese, …) sia invece normale tenere la destra

2. Il fatto che se un inglese (o ad es. anche un indonesiano, o un indiano) vede che la “sua” via normale (la sinistra) è già molto occupata da “usurpatori di corsia”, allora cambia idea e per fare prima ed evitare ingorghi prende la via “sbagliata”, ovvero a destra.

Questo vale indifferentemente sia a salire sia a scendere, o almeno in questo modello le due cose sono “disaccoppiate”, nel senso che ciò che succede a salire non influenza ciò che succede a scendere e viceversa. In modelli più complessi le due modalità potrebbero non essere disaccoppiate, ovvero quello che succede in salita (numero di persone, cambi di corsia da destra a sinistra, ecc..) potrebbe influenzare il comportamento di coloro che stanno scendendo, e viceversa. E’ difficile pensare che, se state scendendo le scale, cambiate idea e vi mettete a salire perché tante persone stanno salendo… a meno che vi sentiate particolarmente solidali con loro, ma questa è un’altra storia 😉

Altri motivi per mescolare le carte sono i seguenti:

3. Per distrazione, nel parlare magari con qualcuno, cambiate parte e da destra passate a sinistra o viceversa

4. Il fatto che un “destrorso” passeggi e chiacchieri con un “sinistrorso” (ad es. un cinese con un inglese) può farlo comportare in modo diverso dal suo solito, o fargli cambiare ad es. da destra a sinistra se l’altro lo fa

5. Quando finisce una rampa e ne ricomincia un’altra, la ringhiera si interrompe per poi riprendere. Lì c’è modo / occasione di cambiare ad es. da destra a sinistra.

In generale è possibile modellizzare le cose identificando singole persone ( = che camminano essendo sole), ma anche coppie di persone (interagenti fra loro perché stanno parlando, o perché seppur non parlando viaggiano insieme) o anche triplette o quadruplette (corrispondenti ad es. a gruppetti di studenti che viaggiano insieme) e così via. Possiamo quindi attribuire una certa probabilità che la singola persona cambi decisione, e questo è vero anche per una coppia. In questo caso è pensabile attribuire una certa probabilità che la coppia cambi parte (da destra va a sinistra o viceversa) funzione del caso o di ciò che fanno gli altri.

Vediamo quindi che si va facendo strada un modello della situazione, in cui una singola “entità che sale o scende le scale” può essere identificata come una “particella”, che può assumere varie “caratteristiche” che chiameremo “stati”. Per “entità” intendiamo una persona, una coppia, e così via. Per “stato” intendiamo principalmente un insieme di due informazioni: (i) se scende (Down = D) o se sale (Up = U) e (ii) se si trova a destra (Right = R) o a sinistra (Left = L). In questo caso è comodo usare la notazione inglese per evitare confusione fra parole (in italiano, S potrebbe significare indifferentemente sia Salire sia Scendere o anche Sinistra).

In pratica abbiamo quindi una particella il cui stato è descrivibile con almeno due “caratteristiche” che, in modo volutamente pomposo, potremmo chiamare “numeri quantici”. Numero quantico principale: U oppure D per salita e discesa, e secondario: R oppure L per destra e sinistra. Forse si possono anche invertire i ruoli fra principale e secondario, direi che per noi ora non ha molta importanza.
Ci sono particelle singole ma anche coppie o triplette, ecc… Una volta fissato il sistema che si vuole studiare (particella singola o meno, o un sistema formato da più tipologie) possiamo formalmente definire dei passaggi di stato possibili (di seguito chiamati “transizioni”) che sono i seguenti:

U à D;    D à U;    R à L;    Là R             per particella singola

Siccome uno stato è identificato da una coppia di informazioni, potremmo anche riassumere i vari stati (da cui dedurre i passaggi di stato) in questo modo:

UR, UL, DR, DL  per particella singola

Se abbiamo a che fare con una coppia di persone, allora gli stati possibili saranno in principio i seguenti (la virgola separa lo stato della prima persona dallo stato della seconda):

(UR, UR), (UR, UL), (UR, DR), (UR, DL)

(UL, UR), (UL, UL), (UL, DR), (UL, DL)

e così via al cambiare dello stato della prima persona.

Ci accorgiamo ben presto, però, che questa descrizione dello stato di una coppia non riflette il fatto che si parla appunto di una coppia. Considerereste voi come “coppia” una persona che sale da destra insieme con una che scende da sinistra (UR, DL), ad esempio ?

Direi proprio di no! Per una coppia, gli stati possibili nel nostro modello sono allora i seguenti:

(UR, UR), (UL, UL), (DR, DR), (DL, DL)

così che si sale o si scende sempre entrambi.

E’ però “accettabile” che per qualche motivo si possa parlare dai due lati della ringhiera, per cui io accetterei anche i seguenti stati della coppia:

(UR, UL), (UL, UR), (DR, DL), (DL, DR)

In tutto questo ragionamento, abbiamo ovviamente identificato come “diverse” le due persone di una coppia, per cui ad esempio lo stato (UR, UL) è diverso dallo stato (UL, UR): nella nostra rappresentazione la posizione conta, insomma!

Potremmo chiamare “vincoli” i motivi che ci inducono a scartare alcune configurazioni di coppia, e questo vale anche per identificare i possibili stati di triplette eccetera. Se avete del tempo, provate a identificarli voi! Prendendo a prestito una nomenclatura che deriva dalla meccanica quantistica (lo abbiamo già fatto, tra l’altro), potremmo chiamare “permessi” gli stati possibili (per una coppia, una tripletta, ecc…) e chiamare “proibiti” tutti gli altri.

Già che ci siamo, chiamiamo “transizione” ogni passaggio fra un generico stato ed un altro, diverso dal primo, sia per un singolo che per una coppia o tripletta o altro.

Avremo così identificato:

–          un sistema (particella singola, coppia, tripletta, …)

–          uno stato del sistema (U, D, L, R per la singola, vedi sopra per le coppie, eccetera)

–          degli stati permessi e stati proibiti

–          delle transizioni permesse e proibite

A questo punto pare quasi inevitabile associare al concetto di transizione fra stati una probabilità: la probabilità che tale transizione avvenga. Potremmo chiamarla “P”. Da cosa la facciamo dipendere ? Beh, direi che in generale dipenderà dallo stato iniziale e dallo stato finale. Se questo pare ovvio (e in buona parte lo è) riflettiamo però sul fatto che P potrebbe in taluni casi NON dipendere dallo stato iniziale ma solo da quello finale, o viceversa. Ad esempio: se nel salire arrivo al pianerottolo dove la ringhiera, come già detto, si interrompe, potrei cambiare corsia indipendentemente dal fatto che mi trovassi a destra oppure a sinistra. Provate voi ad individuare altri casi del genere.

Avremo quindi, utilizzando un po’ di formalismo:

P12 = P (S1, S2)  per particella singola

dove P12  è la probabilità associata al cambiamento di stato da S1 ad S2 e dove S (Stato) è identificato da ciò che sappiamo: (U, D, L, R). Per meglio dire quindi avremo sempre due stati, uno stato iniziale che chiameremo S1 ed uno finale che chiameremo S2. La transizione avviene da S1 ad S2. In tutto ciò potremmo sottintendere che tali stati sono permessi, per cui anche la transizione lo è. Viene quindi naturale di associare P=0 a transizioni proibite. E’ interessante notare come questo NON sia vero in meccanica quantistica, ad esempio nello studio delle transizioni elettroniche fra stati ad energia diversa. Il “come mai” non sia vero, il che in sé è un’ apparente contraddizione, potremmo vederlo … in un prossimo post.

In modelli più complessi, potrei anche avere (sempre per particella singola):

P12 = P (S1, S2, “altro”)

dove “altro” potrebbe essere ad esempio lo stato di altre particelle. Facciamo qui una breve riflessione sul modello. In generale P12 è la probabilità “di cambiare idea”. Perché si cambia idea ? per molti motivi, vedi anche sopra. Se scrivo che tale probabilità dipende da S1 e da S2 allora tengo conto di essi in modo esplicito, e contemporaneamente NON tengo conto di “tutto il resto” ovvero di ciò che fanno le altre particelle, perché S1 ed S2 si riferiscono a ciò che fa la MIA particella, non le altre.

Se voglio introdurre stati di altre particelle, ad esempio di un’altra, allora devo complicare la notazione, e scrivere che “a” e “b” rappresentano le mie due particelle (singole! non formanti una coppia!) e quindi posso dire che:

Pa12 = probabilità di transizione S1 à S2 della particella “a”

Pb12 = probabilità di transizione S1 à S2 della particella “b”

Se la transizione per la particella “a” NON dipende da ciò che fa la “b”, allora avrò:

Pa12 = P (S1a, S2a)

altrimenti avro’:

Pa12 = P (S1a, S2a , S1b, S2b)

In questo modo inserisco matematicamente una inter-dipendenza fra transizioni di particelle diverse.

Se ho una coppia, posso definire la probabilità di transizione analogamente a come ho fatto per particella singola, ma la dipendenza qui è più complessa, poiché ci sono due particelle e non una sola.

Esempio: la transizione (UR, UR) à (UR, UL)

Qui ed in altri casi, potrò dire in generale che P dipende dallo stato iniziale e finale della coppia, ciascuno identificato da una coppia di “numeri quantici” presi fra quelli che conosciamo (U, D, R, L).
Anche qui, volendo, potrei introdurre una dipendenza di tale probabilità dallo stato di un’altra coppia, o anche di un’altra particella, e così via.

Decidendo quindi il numero N di particelle singole, M coppie, T triplette e così via, rappresentativo di tutte le persone che in un certo momento stanno scendendo e salendo le scale, possiamo identificare lo stato iniziale di ciascuna e quindi lo stato iniziale di tutto il sistema. Dobbiamo decidere quali sono gli stati e le transizioni possibili e quali sono le probabilità per ogni possibile transizione. A questo punto potremo studiare l’evoluzione del sistema nel tempo.

Avremo di sicuro il vincolo che N + M + T + … = numero totale di persone.

Dovremo anche decidere che per il nostro studio tale numero resta costante (non considero che qualcuno entri o esca dalla rampa di scale, grossa limitazione, lo so…).

Una realizzazione pratica di tutto ciò esula al momento dalle mie capacità (e anche dal mio tempo a disposizione), però sarebbe molto carino se qualcuno volesse provarci, dando anche una veste grafica al tutto (importantissima secondo me).

Potremmo quindi ottenere dei grafici riguardanti l’andamento nel tempo del numero di persone che salgono (o scendono) dalla stessa parte, ad esempio, o da parti diverse (se si parla di coppie), oppure l’andamento nel tempo di quanti salgono da destra e quanti scendono da destra, per “scovare” quanti alla fine non seguono le regole in uso per il traffico in Inghilterra 😉

Riflessione finale
Alla fine di tutto questo ragionamento, potreste obiettare: a che serve tutto ciò ? boh, forse a capire che alla fine ognuno… fa quello che gli pare, ma solo fino ad un certo punto !!

Altre riflessioni ? postatele qui!

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