Scusi…. quanto dista ??? (segment)

Quante volte abbiamo fatto questa semplice domanda, senza pensare a quello che effettivamente c’è dietro.

La risposta più esatta da dare sarebbe “dipende“.

Dipende da tante cose:

  • se il posto che vogliamo raggiungere è raggiunto da una strada diritta o piena di curve
  • se misuriamo il percorso in metri o in yarde
  • se ci interessa la distanza o il tempo necessario per raggiugerlo.

Ci sarebbero altri fattori da considerare, ma per ora ci fermiamo qui.

Immaginiamo di essere alla stazione e chiediamo quanto dista l’albergo che abbiamo prenotato, per poter decisere se andare a piedi oppure prendere un taxy.

Magari riuscite anche a vedere l’albergo, perchè sporge da dietro unaa fila di edifici più bassi. Sembra vicino eppure fra voi e lui c’è un fiume ed il ponte più vicino è “all’orizzonte”….

Cosa c’é che non va ?

Finora col termine “distanza” ci siamo riferiti inconsiamente ed equivalentemente sia alla distanza euclidea fra due punti oppure alla lunghezza del tragitto da percorrere fra essi.

Ma non è esattamente la stessa cosa. E vediamo di capire intuitivamente perché.

La distanza euclidea ( che a scuola ci insegnano ad usare ) è misurata lungo la linea retta che unisce i punti di partenza e di destinazione. Geometricamente è il segmento di lunghezza minore fra questi. Possiamo immaginarlo come uno spago teso oppure un raggio laser che parte dal primo punto ed arriva al secondo.

Questa distanza “funziona bene” su spazi vuoti “piani” e privi di ostacoli, ovvero spazi che con le dovute approssimazioni del caso potremmi dire “ideali”.

Nota: in maniera più rigorosa, dovremmo definire questi spazi “euclidei” ovvero spazi dove si può applicare la geometria di Euclide [ la geometria di euclide fra le tante cose definisce che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°]. In natura però esistono altri spazi dove tale geometria non può essere applicata. Ad esempio sulla superficie di una sfera. Un triangolo disegnato sulla superficie di una sfera ( ad esempio possiamo pensare la terra come una buona approssimazione ) può non avere triangoli con la somma degli angoli interni pari a 180°. Faccio un esempio.

Se immagino di tagliare la terra all’equatore ottengo 2 semisfere identiche. Ora, se ne prendo una e la taglio lungo il meridiano di Greenwich, ho 2 spicchi, se taglio ulteriormente questo spicchio a metà passando per il polo e facendo il taglio ortogonalmente ( a 90° ) sull’equatore ottengo uno spicchio piccolo che ha una proprietà:

è un triangolo ed ogni angolo ha 90° di apertura.

Questo implica che 90+90+90=270 gradi! Ed Euclide va a farsi benedire! 😀

Ciò si può vedere anche dalla figura riportata sotto ( nella quale l’angolo al polo è di soli 50° ma la somma degli angoli sull’equatore – da soli – è già pari a 180° ).

Nota: viste le dimensioni enormi della terra, il cui raggio è superiore a 6.000 km, possiamo considerare la terra LOCALMENTE piatta, ovvero su piccole distanze la curvatura della terra è abbastanza trascurabile. Siccome l’orizzonte terrestre non dista più di 40 km, questo fatto indusse in errore la gente del passato, la quale considerava la terra GLOBALMENTE piatta.

Vediamo ora come funziona un po’ la distanza Euclidea. [ Chi volesse avere una maggiore formalizzazione matematica della distanza e delle sue proprietà può consultare questo link di wikipedia ]

Se immaginiamo di lavorare con un sistema di riferimento cartesianoun sistema di riferimento che ricorda una tabella di battaglia navale, tanto per capirsi ) avremo che i punti sul piano saranno individuati da una coppia di numeri ( nella battaglia navale è una lettera ed un numero – ma il concetto non cambia ) tel tipo:

Fin qui nulla di particolarmente astruso. Ma come faccio a calcolare la distanza fra 2 punti in questo piano ? Se uso un righello posso commettere degli errori di approssimazione ( che posso eliminare o rendere minimi – ma lo vedremo altrove ). Se consideriamo il punto rosso ed il punto verde, possiamo vedere che la distanza fra loro è l’ipotenusa di un tirangolo rettangolo ( basta far proseguire la lina rossa fino ad incontrare la linea verde 😉 ), come si può vedere dalla figura sotto.

Se ci ricordiamo il Teorema di Pitagora sappiamo che recita più o meno così: “la somma dei quadrati costruiti sui cateti e’ uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa” ovvero

(Ipotenusa)^2 = (cateto 1)^2 + (cateto 2)^2

che in pratica vuol dire:

Ipotenusa =\sqrt { (cateto 1)^2 + (cateto 2)^2 }

che trasportato nel nostro caso diventa:

Distanza =\sqrt { (X del punto Verde - X del punto Rosso)^2 + (Y del punto Verde - Y del punto Rosso)^2 }

che può spaventare molti, ma il cui uso e’ semplicissimo. ( Però non andremo ad indagare in quella direzione, tranquilli !!! ).

La cosa che volevo far notare è che tale distanza è “isotropa” in ogni direzione: non cambia al variare della direzione in cui si misura.

Ma se ci sono degli ostacoli ?

Pensiamo un attimo a città come Torino o Manhanttan, in cui le strade si incrociano con regolarità a 90° fra loro.

Se vogliamo andare dal punto A al punto B qualunque essi siano all’interno della città, non potremo andarci in linea retta se non si trovano sulla stessa strada. In ogni altro caso dovrà percorrere un percorso più o meno pieno di svolte ad angolo retto, come in figura sotto. Questa viene chiamata Geometria del Taxi.

Come viene definita la distanza in questo caso ? Ricordiamoci la definizione di distanza euclidea:

Distanza =\sqrt { (X del punto Verde - X del punto Rosso)^2 + (Y del punto Verde - Y del punto Rosso)^2 }

In questo caso avremo che la distanza viene definita come segue:

Distanza = \mid (X del punto Verde - X del punto Rosso) \mid + \mid (Y del punto Verde - Y del punto Rosso) \mid

dove \mid numero \mid è il valore assoluto di quel numero. Questa distanza viene detta Distanza Manhattan in onore della città dove è stata usata più di frequente.

Con la distanza definita in questo modo abbiamo delle “cose” abbastanza strane…..

.. ad esempio:

Ricordiamoci la definizione di cerchio: “la circonferenza è una linea curva chiusa formata da punti che hanno una caratteristica comune:sono equidistanti da un punto interno detto centro. Il cerchio è l’insieme dei punti all’interno della circonferenza.” Ma se invece di applicare la distanza di Euclide applichiamo la distanza Manhattan esso diventa così:

Oh! Ma sono cerchi QUADRATI!!! Che è successo ? Nulla: la definizione di cerchio in questo caso non cambia, quello che cambia è la definizione di distanza.

« Ma dove si usa una “oggetto” tanto strano ? »

Questa domanda me l’hanno fatta più e più volte, senza pensare che gli stessi che mi facevano la domanda la utilizzavano senza rendersene conto mentre giocavano a scacchi. Infatti : «Nel gioco degli scacchi, la distanza tra le caselle sulla scacchiera per una torre viene misurata secondo la distanza della geometria del taxi» Cit. Wikipedia

Sulla scacchiera, e non solo sulla scacchiera, vengono comunemente utilizzate distanze che non sono euclidee ma vedremo di spendere due parole al riguardo in un altro articolo.

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2 pensieri su “Scusi…. quanto dista ??? (segment)

  1. Pingback: Scusi quanto dista….. – 2 (Repost) | Num3ri v 2.0

  2. Pingback: I grafi ( cenni introduttivi ) | Num3ri v 2.0

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