La moltiplicazione delle cifre

In questo post vorrei farvi partecipi di un’idea che mi è venuta cercando di addormentarmi. C’è infatti chi conta le pecore (e pare sia difficile far loro saltare la staccionata) e c’è chi moltiplica numeri… i gusti son gusti!

Premetto che non sono un matematico, per cui non avrò il rigore di un matematico (né d’altra parte ne ho la pretesa)… :d

Dunque l’idea è questa: si prenda un numero con più di una cifra, ad esempio 793, e si moltiplichino fra loro le cifre per ottenere un altro numero: 7x9x3 = 189. A partire dal numero appena trovato si effettui la stessa operazione: 1x8x9 = 72. A partire da questo si proceda ancora: 7x2 =14 e da questo ancora: 1x4 = 4. Arrivati ad un numero composto da una sola cifra ci si ferma, non avendo nessuna moltiplicazione da poter fare tra le cifre.

Riassumendo: 793  189  72→ 14  4

Definiamo “ordine” del numero di partenza il numero di passaggi necessari per arrivare ad un numero di una sola cifra, a partire dal numero stesso. Secondo questa definizione, il nostro numero iniziale 793 è di ordine quattro. Come aiuto per ricordarsi questa definizione, possiamo pensare che l’ordine equivale al numero di “freccine” che inseriamo in uno schema che dal numero di partenza arriva ad un numero ad una cifra, come rappresentato poco sopra.

Con la stessa logica, se avessimo preso come numero iniziale il 562:

562    60 0  è di ordine 2

Ovviamente possiamo partire da numeri anche molto più grandi, ad esempio:

78324 1344  48  32   6 è di ordine 4.

Il gioco, alla base, sta tutto qui.

Possiamo però notare alcune “regole” che possono saltare all’occhio:

1) preso un numero N iniziale di ordine n, tutti i numeri ottenuti da N con una qualsiasi permutazione delle sue cifre hanno anch’essi lo stesso ordine. Questo deriva dalla proprietà commutativa del prodotto.

Esempio: sia N = 793. Sappiamo già che n=4. Hanno ordine 4 anche i seguenti numeri: 379, 397, 739, 937, 973.

2) allarghiamo, per così dire, la regola precedente: dato un numero N di ordine n, hanno ordine n tutti i numeri che differiscono da N per l’aggiunta di un qualsiasi numero di cifre “1” in qualsiasi posizione. Questo è banale da dimostrare, poiché l’unità è l’elemento neutro del prodotto.

Esempio: sia sempre N = 793 (n=4). Hanno ordine 4 anche i seguenti numeri: 7931, 7931111, 1937, 711931, e cosi’ via.

Queste due regole (ed in particolare la seconda) ci dicono che, una volta trovato un numero di ordine n, i numeri che possiedono lo stesso ordine sono infiniti.

3) dato N di ordine n, l’aggiunta di almeno una cifra “0” in qualsiasi posizione di N, fa scendere l’ordine al valore n=1. Questo perché il prodotto delle cifre farà zero, e lì mi devo fermare dopo solo un passaggio.

4) come “estensione” della regola precedente: dato N di ordine n, l’aggiunta di almeno un “2” e di un “5” fa scendere l’ordine al valore n=2. Questo perché nel passaggio successivo si avrà un “x10” ovvero uno zero.

Esempio: da 793 costruisco 72935: 72935  1890 0

Poiché per far comparire un “x10” al passaggio successivo basta avere un numero pari ed almeno un “5”, estendiamo la regola 4 con le seguenti:

5a) dato N di ordine n, l’aggiunta di almeno un “5” e di almeno una cifra pari fa sì che n=2

5b) dato N contenente almeno un “5” ed almeno una cifra pari, sarà n=2.

5c) dato N contenente almeno una cifra “0”, avrò n=1

———————–

A questo punto fermiamoci con quelle che ho chiamato “regole” per una domanda che a me pare interessante: “esiste un limite all’ordine di un numero ?” Qui, per “numero”, ripeto che si intende un intero positivo.

A occhio verrebbe da dire “no”, almeno a me, ma questa non è certo una dimostrazione!! (e ci mancherebbe altro!)

Se chiamiamo “padre” il numero che immediatamente precede un altro nel calcolo dell’ordine, e “figlio” il numero che segue, allora nascono altre interessanti domande.

Esempio: 793 è padre di 189, 189 è figlio di 793 e padre di 72, e così via.

Ci potremmo chiedere allora:

Per ogni numero N esiste sempre un padre ? e, se esiste, è sempre unico ?

Diamo per scontato che il problema “duale”, ovvero se per ogni numero N esista sempre un figlio, sia di banale risoluzione. La risposta, per definizione di figlio, è: sì, ed è unico.

La risposta alla domanda precedente, invece, è molto meno scontata.

Partiamo subito con un esempio: il numero “11” non ha padri. Lo si può verificare facilmente, pensando che è un numero primo, ed in quanto tale non può essere il prodotto di almeno due numeri (di una sola cifra l’uno), pensati come cifre di un ipotetico numero padre.

Se notate, questo vale per tutti i numeri primi.
(ma, a priori, può valere anche per altri numeri che non siano solo numeri primi N.d.R.)

Abbiamo quindi risposto ad una parte della domanda: esistono infiniti numeri senza padri che, con scarsa fantasia, chiameremo “orfani”. Si potrebbe qui obiettare che avrei potuto definire delle “madri” invece che padri… sono stato fuorviato dal maschile della parola numero che mi ha indotto a pensare al padre, è solo per questo… 😉

I numeri orfani coincidono con i numeri primi ? (ovvero: i due insiemi coincidono ?)

Basterebbe trovare un contro-esempio. Se ci pensiamo, la risposta alla domanda non è così difficile: no!

Ad esempio: prendiamo un numero primo: 17. Se facciamo 17^2 otteniamo 289.

Per come è stato ottenuto, 289 non può essere il prodotto altro che del 17 per 17. Poiché il 17 è composto da due cifre, non potrò mai ottenere il 289 come prodotto di numeri di una sola cifra. Torna ? A me torna.

Esempio: 1717 non dà 289, poiché evidentemente 1717  49

Quindi abbiamo dedotto che sono orfani anche tutti quei numeri che sono ottenuti, direi, come prodotto di un numero primo maggiore o uguale a 11 per un qualsiasi altro numero.

Ovvero: se N = 11 x M, allora N è orfano (M = numero naturale qualsiasi). Ma anche se N = 17 x M, allora N è orfano. E così via, fino al caso generale in cui N = P x M con P primo >= 11 è orfano. Pensateci.

N = P x M con P primo >= 11 è orfano

Esempio: N = 11 x 32 = 352. Se pensassi di ottenere 352 come figlio di 1132 sbaglierei…evidentemente!

Quindi possiamo dire che di sicuro avrà (almeno) un padre ogni numero N che è il prodotto di fattori primi e non primi di una sola cifra. Ma questo se volete… è banale, è la definizione stessa di come si ottiene un figlio.

Esempio: come fattori primi di una cifra prendo il 3 ed il 7. Come fattori che ho chiamato “non primi” di una cifra prendo il 2 ed il 4 (occhio: vanno pensati come cifre del padre).

Ho quindi che ad esempio 3x7x2x4 = 168 ha un padre, che è per esempio proprio 3724. Ma anche 7342 è un padre di 168… e questo lo abbiamo già detto.

So che un numero può essere scomposto sempre in un prodotto di fattori primi (tutti primi), ma qui non si tratta di scomporre in fattori primi, si tratta di pensare un numero come prodotto di altri numeri (tutti ad UNA cifra) che sono le cifre del padre.

La scomposizione in fattori primi ci viene in aiuto perché ci dice che 3724 e 37222 sono due padri diversi dello stesso figlio (che è 168), poiché 2×2 = 4… lo vedete ?

Quindi posso sempre ricondurre un “generico” padre ad un Padre (con la P maiuscola) che ha per cifre solo numeri primi. Chiamo questo numero “Avo”. (Che fantasia! :P)

Quindi abbiamo che 168 ha per esempio i padri 378 e 3724, ma uno degli Avi è 37222. Ho detto “uno degli Avi” perché anche qui posso permutare, per cui anche 22237 è Avo di 168. Poiché posso aggiungere “1” in abbondanza, fatto un Avo ce ne sono infiniti. Potremmo però sbarazzarci di questi, dicendo che ogni Avo non debba contenere nessuna cifra “1”. Si tratta comunque di una definizione, se non vi piace cambiatela.

Notiamo che, tecnicamente, ogni Avo è in sé padre del numero, ma chiaramente non è padre dei padri.

E’ quindi sul loro stesso piano, ovvero ha lo stesso ordine. Tutti padri, en passant, hanno fra sé lo stesso ordine. Come pure tutti gli Avi.

Poiché il padre non è unico, dato N e risalendo “a ritroso” si crea una sorta di “albero genealogico” che si allarga man mano che si risale all’indietro.

Ma allora viene da chiedersi:

“Dato un numero N, quanto indietro si può risalire ?”

Ed oltre a questo, sorgono anche due domande che fin’ora hanno in qualche modo serpeggiato fra le righe:

C’è un limite all’ordine di un numero ?

e, se no:

Qual è il primo numero di ordine n ?

Queste cose le analizzeremo in un prossimo post.

Prima di terminare, vi lascio un elenco dei primi 100 numeri con il relativo ordine (tralascio i primi 10 da 0  a 9):

  • 10 – 24:                1
  • 25  – 29:                2
  • 30 – 33:                1
  • 34 – 38:                2
  • 39:                         3
  • 40 – 42:                1
  • 43 – 46:                2
  • 47:                         3
  • 48:                         2
  • 49:                         3
  • 50 – 51:                1
  • 52:                         2
  • 53 – 54:                2
  • 55:                         3
  • 56:                         2
  • 57:                         3
  • 58:                         2
  • 59:                         3
  • 60 – 61:                1
  • 62 – 65:                2
  • 66:                         3
  • 67:                         2
  • 68 – 69:                 3
  • 70 – 71:                1
  • 72 – 73:                2
  • 74 – 75:                 3
  • 76:                         2
  • 77:                         4
  • 78 – 79:                 3
  • 80 – 81:                1
  • 82 – 85:                2
  • 86 – 89:                 3
  • 90 – 91:                1
  • 92:                         2
  • 93 – 98:                 3
  • 99:                         2
  • 100:                       1
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5 pensieri su “La moltiplicazione delle cifre

  1. Interessante giochino! Non indicatissimo per addormentarsi, magari. È da un po’ che mi sto “divertendo” anch’io con la matematica degli interi, cercando di tradurre procedure come queste in piccoli script bash (Linux). Un ottimo esercizio per il cervello, insieme ai video di Numberphile, i problemini del Project Euler (ti consiglio di dare un’occhiata ad entrambi, se non li conosci ancora) e qualcos’altro!

    • Ciao, grazie!
      Mi guardero’ senz’altro i link, confesso di non conoscere quasi nulla di bash e Linux per cui in passato ho provato a tradurre le cose in quickBasic (pensa un po’) oppure in LabView (usato impropriamente per questi scopi).
      Problemi come questi hanno la difficoltà di crescere in modo esponenziale come “tempo di calcolo” o grandezze ad esso equivalenti, a meno di non trovare soluzioni e “trucchi” ad hoc che pero’ io non conosco. Fino a 10-12 cifre si calcola l’ordine di un intero, ma molto piu’ là bisogna inventarsi qualcosa se no non se ne esce!

      • Intendi calcolare a mente 10-12 cifre? Pensavo per esempio a “processare” 9999999999 -> 9*9*9*… -> 9^10 = 3486784401 -> 0 !!! Tenere a mente i risultati dei passaggi successivi con numeri che crescono così velocemente in effetti non è roba da poco…
        Comunque lo scriptino che ho messo insieme (non ha nessun accorgimento particolare, esegue solo ricorsivamente le moltiplicazioni) macina sul mio pc ~120000 numeri al minuto ed il tempo di calcolo scala in maniera più o meno lineare, viste anche le “regole” che facevi notare nel post (presenza di 0,2 e 5 nei numeri ottenuti). Magari prossimamente lo pubblico (ne ho anche un altro sul calcolo di pi col metodo Montecarlo di cui hai scritto, più un mucchietto di altri che hanno a che fare con operazioni su interi). In entrambi i casi sono pochissime linee di codice.
        Ho trovato molti altri post interessanti, li sto leggendo con piacere.

  2. Pingback: I partecipanti alla maratona | Num3ri v 2.0

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